다음 수식은 물리학자 <보어>의 양자조건입니다.
∮pdq=nh (n=1, 2, 3, 4...)
위 식에서 '∮'라는 심볼은 1 주기 적분한다는 Line integral이라는 기호입니다.
p라는 기호는 어떤 입자가 질량(m)과 속도(v)를 가지는 것으로 운동량이라는 의미를 가집니다.
d라는 기호는 운동량 성분 q를 미시적으로 쪼개라는 하나의 연산자입니다.
앞에 '∮'라는 기호와 함께 결합하여 미시적으로 쪼갠 자그만한 넓이를 모두 연속적으로 더하라는 의미를 제공하고 있습니다.
곧 어떤 입자가 시시각각으로 움직이면서 주기운동을 하는 것을 미시적으로 쪼갠 것을(dq) 한 바퀴 1회전을 하는 모양의 넓이를 더하는 것입니다.
이것이 소위 입자의 양자조건이라고 하여 물리학자 <보어>가 양자와 관련하여 모든 현상들을 충족시켜야 하는 조건인데, 반복 운동을 하는 것에만 한정됩니다.
이 식은 일반적으로 전자의 궤도가 플랑크상수 h의 정수배라는 것을 의미합니다.
곧, 전자가 일정한 궤도에서만 관찰할 수 있다는 불연속이라는 사상을 발견한 것입니다.
전자는 아무런 위치에서는 관찰할 수 없고, 띄엄 띄엄 띄어서 일정한 궤도에서만 관찰할 수 있다는 것이 양자화 조건입니다.
이 정도는 이 분야를 공부하는 학자들이 잘 알고 있는 기초지식입니다.
제로존은 공준에서 플랑크상수 h = 1 이므로 아주 특별하게 n = 1일 때 ∮pdq = 1 이 됩니다.
게다가 1 주파수를 가지는 광자의 질량은 1 이고, 항시 빛의 속도로 달리므로 mc = 1 * 1 = 1 이 됩니다.
광자의 운동량은 아인슈타인의 다른 식으로 표현하면 p = hν/λ가 됩니다.
여기서 h는 플랑크상수 ν(뉴)는 진동수, 분모의 λ(람다)는 파장을 의미합니다.
h = 1 이고 위에서 1 주파수(진동수) 라고 했으므로 ν(진동수) = 1 이 되어 운동량 p(질량 * 속도) = 1/λ 가 됩니다.
또 λ = 2πr(원주)로 사용하므로 광자의 경우는 속도 v는 c가 되고 운동량은 위에서 이야기 한 바로 mv → mc 가 되어 초당 1회전 하는 광자의 운동량은 mc = 1 * 1 = 1 이 되어 이 식을 만족하는 λ = 1 이 되고 결국 2πr = 1 이 되어 1초당 1회전하는 광자 1개의 반경은 1 /2π 가 됩니다.
1/2π를 다시 다른 식으로 표현하면 1/2π = h/2π = ħ(h-bar) 라고 표현되는 플랑크상수 h의 변형된 표기로 디랙상수가 됩니다.
여기에서 각운동량의 단위가 ħ(h-bar), 디랙상수로 나타나는 이유를 현대물리학자들은 모릅니다.
아래에서 이야기하겠지만 상태함수에서 스핀을 결정하는데 스핀은 물리학적으로 말하면 각운동량을 말합니다.
그런데 제로존 이론에서는 공준을 사용하다 보면 1초 = 빛 알갱이 하나가 초당 1 회전하는 1 주파수 = 299792458 m 가 되어 초당 1회전하는 빛 알갱이 하나의 1 주기가 바로 거리 299792458 m 가 되고 이 자체가 바로 숫자 '1' 이라는 크기로 나타냅니다.
그래서 자연스럽게 빛 알갱이 하나가 초당 1회전하는 그런 빛 알갱이의 반경은 1/2π = h/2π = ħ = 디랙상수 = 각운동량의 기본양자가 자연스럽게 유도된 것입니다.
왜 하필 각운동량의 양자가 h/2π = ħ 가 되는 것은 제로존 이론에서 밝힐 수가 있는 것입니다.
그러다 보면 초당 1회전하는 광자 1개의 밀도도 구해질 수 있습니다.
계산을 해보면 m = 4/3πr^3 * σ(밀도) = 1 이므로 1초당 1회전하는 광자 1개의 밀도는 6π^2 이 됩니다.
1초당 1회전하는 광자 1개의 부피는 1/6π^2 이 됩니다.
이미 초당 1회전하는 광자 1개의 질량을 kg단위로 표현한 '1 = 7.1 * 10^-51 kg' 수치는 2007년 8월 신동아에서 발표한 적이 있습니다.
정리하면 초당 1회전하는 광자 1개의 질량, 길이, 부피, 밀도가 정확히 계산될 수 있는 것입니다.
초당 1회전하는 광자 1개의 반지름은 <드보로이>의 물질파 공식에서도 계산해 낼 수 있습니다.
mvr = nħ, 또는 mvλ = nh
여기서 m = 1, v 는 빛의 경우 광속 c가 되어서 mcr = 1/2π, 따라서... r = 1/2π = ħ 이 얼마나 놀라운 일입니까?
이 내용은 전문가의 첫 번째, 기초지식으로 해결해 낼 수 없는 항목에 해당 될 것입니다.
전자는 이런 식으로 해석하면 초당 1.23... * 10^20 회전하는 입자로 광자가 이만큼의 엄청난 갯수가 한 집단으로 뭉쳐있는 표현으로 해석하는 것입니다.
이렇게 하면 전자 1개가 어떤 식의 구조로 드러나는지 시각적으로 그려볼 수 있는 것입니다.
고전 역학에서는 어떤 물체의 상태를 표시하는 위치나 속도라는 물리량은 명확히 측정할 수 있습니다.
미시세계의 입자의 상태를 해석하고 계산하는 양자 역학에서는 이런 위치나 속도라는 물리량은 하나하나 꼭 집어서 직접 명확히 측정할 수 있는 물리량이 아닙니다.
이를 다른 말로 고전역학에서 사용하는 ‘관측량’이라고 하지 않고 관측 가능한 양, 또는 가관측량(observable)이라고 하고 이는 '상태함수(State Functions)'라는 것을 이용하여 측정합니다.
이 이야기를 더 진전하기 전에 물리학이나 수학에서는 '표현(representation)'하는 법을 배웁니다.
예를 들어 y는 x로 표현하는 함수라고 할 때 y(x)라는 표현을 씁니다. 또는 y는 x, y, z 로 표현하는 함수라고 할 때 y(x, y, z)라고 표현합니다.
양자역학에서는 입자의 에너지, 운동량이나 위치 등의 상태를 기술하는 상태함수가 있는데 여기서는 y대신 보통 고대 그리스어 ‘Ψ(프시, 또는 프사이)’를 사용하여 상태함수로 표현합니다.
또 다른 표현법을 공부해 봅니다. 2 * 3 = 6에서 ‘*’표시는 앞의 숫자 2와 뒤의 숫자 3을 서로 곱하라는 표시입니다.
이를 다른 말로 ‘*’ 표시는 곱셈 '연산자(operator)'라는 표현을 씁니다. 그래서 연산자는 다양한 기호로 표시하는데 독립해서 사용할 수 없는 기호들입니다.
양자역학에서는 에너지를 계산해 내기 위해서는 에너지 연산자라는 것을 사용하고 있는데 수학자이며 물리학자인 <해밀턴>이 만들어 낸 것으로 기호 ‘H’로 표시합니다.
연산자인 'H'를 ‘해밀토니안’이라고 읽습니다. 영국 수학자 해밀턴이 발견한 에너지를 계산하는 연산자라는 뜻입니다.
제로존 이론에서는 ‘괄호[]’ 안에 들어 있는 물리량이나 수식에 사용된 단위를 제로존 단위로 바꾸라는 오퍼레이터(연산자)가 있습니다. 큐닛을 말하는 것입니다. 흥미로운 것은 이러한 단위로 바꾼 것이 제로존 공준에 있는 각 물리량(단위나 상수)들의 배수배 만큼 물리적 의미를 가지는 것입니다.
에너지로 바꾼다고 해도 좋고, 시간으로 바꾼다고 해도 좋고, 전자전하비와 관련된 비율로 바꾼다고 해도 좋을 것입니다. 모두 상대적인 비율을 표현합니다. 연세대학 초청강연에서는 “니, 마음대로 해도(어떤 물리량이나 단위를 기준으로 해도) 좋다”고 표현 한 것이 제로존 이론의 공준을 두고 한 이야기입니다.
모두들 다 까르르 웃데요~^^ 알고나 웃었는지... 잘 모르겠습니다.
양자역학에서는 벡터, 적분, 행렬 등을 표시하기 위해서 브라켓(braket)을 사용하는데 이는 ‘괄호’, <>를 뜻합니다. ‘<'를 bra, '>'를 ket라 부릅니다.
'xl' 는 시작 상태를 말하고 'ly>'는 끝 상태를 말하는데, 예를 들어 <xlΨly>라는 표현은 x상태에서 y상태로 가는데 Ψ라는 연산자의 조건이 붙어 있는 것을 표현한 것입니다.
뉴턴역학에서는 뉴턴의 운동법칙을 통해서(F=ma, a=F/m) 위치와 속도를 구하는 것이 일단 목적입니다. 위 식에서처럼 운동법칙 자체로는 가속도가 구해질 수 있지만 이것을 적분해서 속도와 위치를 구하는 것입니다.(그래서 필요한 미적분 공부를 하는 것입니다.)
양자역학의 경우 상태를 기술하는 상태함수를 만족하는 방정식을 어떤 천재가 만들어 냈습니다.
그 천재가 바로 <슈뢰딩거>라는 사람이며, 슈뢰딩거 방정식(Schrodinger's equation)이 있습니다.
자, 그러면 다음 수식을 보면 한 눈에 들어 올 것입니다.(한 눈에 아직도 안 들오면 위에 글을 다시 읽어 보십시오.)
iħ∂/∂tlΨ>=HlΨ>
이 방정식을 질량인 알갱이의 경우에 대해 구체적으로 1차원의 위치공간에서 나타내면 다음과 같습니다.
iħ∂/∂tΨ(x, t) = - ħ^2∂^2/2m∂x^2Ψ(x, t) + v(x)Ψ(x, t)
여기서 'iħ'는 운동량을 계산하는 연산자와 위치를 계산하는 연사자 결합사이의 차이를 드러냅니다. p*q = -q*p(비가환)
바로 위의 식에서 상태함수를 두 번 미분하는 항은 알갱이의 운동에너지에 해당하고 v(x)는 포텐셜에너지(잠재에너지)를 뜻합니다.
간혹,‘∇’이라는 기호가 자주 나오는데 상식적으로 알아두면 좋습니다.
이는 라플라스 연산자(라플라시안)라느 것으로 물리학과 수학에서 자주 쓰이는 미분을 하라는 미분 연산자입니다.
가령 2차원 직교좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같습니다.
∇f = ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2
x, y로 표현되는 함수 f를 x에 대해서 두 번 미분하고 y에 대해서 두 번 미분한 것을 모두 더하라는 의미입니다.
3차원 직교좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같습니다.
∇f = ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 + ∂^2f/∂z^2
x, y, z로 표현되는 함수 f를 x에 대해서 두 번 미분하고 y에 대해서 두 번 미분하고 z에 대해서 두 번 미분한 것을 모두 더하라는 의미입니다.
다시 거듭 이야기하거니와 양자역학에서 상태는 이른바 ‘상태함수’라는 것으로 규정하고 있는데 따라서 우리가 실제로 물리량을 잴 때 그것이 상태함수와 어떤 관련이 있는지 상태로부터 물리량을 얻어내는 규칙이 따로 있어야 한다는 것을 말합니다.
위에서 표현한 것처럼 상태함수를 구하는 방법도 슈뢰딩거의 파동 방정식이 가장 잘 알려져 있습니다.
상태함수는 그 대상이 가질 수 있는 다양한 상태를 기술합니다.
일반적으로 계의 상태는 가능한 상태 곧, 고유상태(eigen state)들이 포개져 있는 결합으로 표현됩니다.
자, 그러면 제로존 이론에서 숫자는 실제로 무엇을 이야기하고 있을까요?
다음 마지막 글을 읽고 한 번 생각해 보시기 바랍니다.
무한한 고유상태를 보여준다고 이야기할 수 있습니다.
누가 묻기를 고유상태의 종류는 어떻게 알 수 있느냐고 물을 수 있습니다.
굳이 답하자면 상황에 따라 결정되는데 일반적으로 계의 대상계를 기술하는 해밀토니안(H)이 주어지면 가질 수 있는 고유상태들이 정해진다고 이야기합니다.
실제로는 측정하려는 물리량의 고유상태들로 나타내는 것이 편리하다는 것입니다.
그럼 다시 묻겠습니다. 제로존 이론에서 나온 수는 무엇을 의미할까요?
이제 많은 토론을 거쳐서 어느 정도 이해가 되어 있는 분에게 질문을 던질 수가 있습니다.
스스로 한 번 생각해 보시기 바랍니다.
기초지식에 국한하면 아무것도 의미가 없는 것이라고 잘라 말하게 됩니다.
양자역학을 이해하기 어려운 이유 중에는 복잡한 기호 등이 등장하는 ‘물리학적 표현’을 쓰는 것이 어려워 보이는 척해도 이는 사실 아무것도 아니라고 할 수 있습니다.
이는 누구도 정의하는 식이나 표현을 암기하고 익숙해지면 산술계산처럼 편하게 다가옵니다.
정말로 어렵고 심각한 이유는 바로 수식의 ‘해석’과 관련되어 있는 것입니다.
그래서 무엇보다도 개념공부를 게을리 해서는 안된다는 것입니다.
이것이 전문가가 가지고 있는 기초지식 이외의 기본지식, 정보가 그것이고 이것들이 모두 섭렵되어지면 학문에 겸손해야한다는 지혜가 드러나는 것입니다.
물리학의 모든 보존법칙은 한 마디로 에너지 보존법칙으로 설명할 수 있다고 하는 이야기는 바로 다음과 같습니다.
제로존 이론에서 바로 에너지는 ‘숫자’로 설명하고 있습니다. 그래서 이피리님도 전에 이야기한 바와 같이 에너지 보존법칙은 ‘숫자보존법칙’, 좀 더 구체적으로 ‘큐닛보존법칙’이라고 할 수 있습니다.
이렇게 설명하면 ‘에너지’가 도대체 무엇인가를 일반화하고 일관적인 통일적인 방식으로 간단하고 우아하게 설명할 수 있는 방법을 찾을 수 있다는 것입니다.
지금까지 어떤 물리학자도 에너지가 구체적이고 정확하게 설명한 사람은 없습니다. 그러고 보니 에너지라는 것이 눈으로도 볼 수 있고(물리학 측정) 눈으로 결코 볼 수 없는 추상적 개념(이론 수학)으로도 설명할 수 있을 것입니다.
후자는 바로 수학의 핵심인 추상적 개념이고 이 수학의 추상적 개념은 제로존 이론에서 눈으로 직접 볼 수는 없지만 시각적으로 그려볼 수 있다는 점이 바로 제로존 이론이 위대하고 심오하다는 것을 잘 설명하고 있습니다.
시각적으로 볼 수 없는 추상적 개념이라고 하더라도 정량적인 숫자로 표현하고 있으니 말입니다!
이 이야기는 세상에 어떤 학자도, 어떤 책에도 없는 이야기를 하고 있는 것입니다! 지금까지는 초등학생들이 덧셈과 곱셈에 대해서 알기 쉽게 설명하는 것을 이야기하는 것이라고 할 수 있습니다.
그러면 지금까지 크기 문제만 이야기했는데 이제는 ‘방향’까지 고려하는 상황을 이야기할 차례입니다.
크기와 방향을 함께 생각하는 벡터 개념입니다. 수학에서 음수와 양수를 고려해서 절대값은 크기를 이야기합니다.
그런데 차원이 많아지면 벡터로 생각하여 어떤 특정 위치에서 하나의 거리 크기를 계산해야 합니다.
이 하나의 위치크기를 표시할 때 절대값'lal'과 다르게 ‘∥a∥’라는 표시로 혼돈을 피합니다. 이것이 수학에서 거리공간(metric space)을 표시하는 하나의 표현 방법입니다.
그건 그렇고...
ab는 시작점 a에서 끝점 b로 가는 상황에서 이 사이에 빛 알갱이가 몇 개 들어있는지를 이야기했지만 ba는 크기와 방향을 이야기할 때 ab와 방향이 반대로 생각하는 것입니다.
이를 표시하여 ab=a*b=-ba=-b*a라는 표현이 나옵니다.
이렇게 표현하면 처음 위에서 이야기한 곱셈의 교환법칙을 깨고 있는 것입니다!
이 상황을 1차원 선분이라는 도형을 그려서 설명해 봅니다.
a---b-------c (1)
선분 ac는 선분 ab와 선분 bc를 이은 것, 곧 덧셈한 크기와 같습니다.
이를 수식으로 쓰면 다음과 같습니다.
ac=ab+bc
이 수식의 표현은 시작점 a와 중간점 b사이에 빛 알갱이가 3개 있고 중간점 b에서 끝점 c까지 빛 알갱이 7개가 놓여있어 시작점 a와 끝점 c사이에 연속적으로 놓여있는 빛 알갱이가 모두 10개의 크기가 존재한다는 것을 이야기할 수 있습니다.
이때 시작점 a와 중간점 b, 끝점 c를 다음과 같이 b와 c의 위치를 바꿔서 다음과 같이 배열해 봅니다.
a---c-------b (2)
ac=ab-cb 라고 할 수 있습니다.
어라? 위에 (1)의 선분과 (2)의 선분을 잘 살펴보면 bc=-cb가 어~라? 맞네요!
자, 일반적으로 이야기하면 다음과 같습니다.
‘크기’만 고려하는 것이 아니라 ‘방향’과 함께 고려할 때 시작점, 중간점, 끝점의 문자 기호의 위치와 관계없이 대수적으로 성립하는 것을 일반화해서 표현하면 다음과 같습니다.
AB=-BA (3)
(1)에서 ac=ab+bc를 (3)의 법칙과 같이 바꾸어 놓을 때를 살펴봅니다.
ac=-ca, ab=-ba, bc=-cb라고 바꾸어 놓을 수 있습니다.
-ca=-ba-cb (4)
ac=10, ab=3, bc=7 이므로 -ca=-(-10), -ba=-(-3), -bc=-(-7)
(4)를 구간별 빛 알갱이가 들어있는 개수를 넣어서 고치면 빛 알갱이의 개수를 표현하는 ‘크기’와 빛 알갱이가 놓여있는 ‘방향’을 고려하여 (3)의 법칙을 따르면 다음과 같습니다.
-(-10)=-(-3)-(-7)=10
결국, 똑같은 소리네!!!(장난하나?)
우리는 지금까지 사물의 개수를 생각하여 계산할 때 사칙연산의 법칙에서 ‘크기’만을 생각해왔습니다.
그런데 ‘방향’까지를 생각할 때는 지금까지 생각해왔던 아주 자연스럽고 상식적인 자연의 이치라는 것이 다를 수도 있다는 것을 알게 되었습니다.
이에 대한 개념을 생각해낸 사람이 바로 수학자 <그라스만>입니다.
<그라스만>은 우리가 지금까지 아무도 의심하지 않았던 곱셈의 결합법칙에 대한 교환법칙을 깨뜨릴 수 있다는 개념을 생각했던 것입니다.
알고 보면 너무나 웃기는 콜롬버스의 달걀 세우기와 같은 착상입니다!!!
수학자 <그라스만>은 쬐끔만 생각하면 이해할 수 있는 곱셈의 결합법칙 ab=-ba라고 표현하고 싶을 때 수학자들로부터 니가 지금까지 엄밀하게 지키고 있는 수학법칙을 깨뜨릴 셈이냐 하고 비판과 조롱, 폄하를 생각하지 않을 수 없었을 것입니다.
이런 <그라스만>의 대수는 계산 순서를 바꿀 때 성립하는 비가환 법칙(非可換, non-commutative law)이라고 합니다.
그러므로 우리는 자연의 질서에서 의심없이 알고 있던 교환법칙만 오로지 반드시 성립하는 것이 아니라는 사실을 발견하는 것입니다!
이제 제로존 이론의 핵심을 다시 생각해봅니다.
자연의 다양한 현상을 해석하고 계산하기 위해서 인류는 부득불 셀수 있는 개념을 고려하여 단위라는 개념을 구축했습니다.
이 단위라는 개념을 숫자와 함께 사용한 것이 바로 물리량입니다.
이것까지 좋은데 해놓고 보니까 서로 다른 차원을 가진 물리량들을 서로 비교할 수 없다는 것을 알게 된 것입니다.
인류는 단위개념을 만드는 순간부터 이미 어떤 사물이 성격이 서로 다르다고 전제했기 때문에 비교할 수 없다는 것을 당연지사입니다!
사람과 나무, 휘발유, 전류의 양을 생각할 때 서로 다른 속성을 가지고 있으니까 이를 구별하여 헤아리기 위해서 단위개념을 만든 것입니다.
그런데 계산이라는 것은 이미 비교를 전제로 하여 셈을 하는 행위입니다!
고로 수천 년동안 서로 다른 성격을 가진 사물들을 서로 비교한다는 것이 인류의 약속이었고 그 약속을 이행하다보니 자연스럽게 차원이 다른 단위들끼리 덧셈, 뺄셈을 할 수 없다는 것은 너무나 당연한 듯 보입니다.
의심할게 따로 있지 단위개념은 원천적으로 셈을 위한 약속으로 의심할 바가 없는 것이지요.
문제는 이런 식으로 계산하다보니 별도로 암기할 것도 많고 너무나 복잡하고 급기야는 계산의 한계에 봉착했던 것입니다.
마찬가지로 제로존도 처음부터 의심하지 않았던 것입니다. 그런데 마찬가지로 해석과 계산의 문제에 선대학자들이 체험한 그대로 어떤 장벽이라는 한계를 만난 것입니다.
이것을 제로존은 ‘화이트 아웃’이라고 본 글에서 표현했습니다.
인류는 편한 것을 찾으려고 하다가 오히려 복잡함을 가중시켰다는 것을 알게 되었습니다.
수수께끼 같은 안개를 찾아 나섰다가 안개 속에 묻힌 형상입니다.
그래서 모든 수사의 초점을 맞추기 위해서 다시 출발점으로 되돌아 온 것입니다.
제로존 이론의 공준은 발견은 이러한 수사가 막힌 한계점에서 그 기본 정석대로 다시 계산의 기본현장으로 달려온 것에서 찾을 수 있었던 것입니다.
우주와 자연을 설명할 때 모든 과학의 기초개념이 되는 수학에서 a*b=ab만 존재하는 것이 아니라 의심하고 또 의심하니 a*b=-ba도 성립하는 것처럼 우리가 서로 다른 차원의 비교로서 덧셈, 뺄셈이 원래의 순수한 자연의 설계도면이 아니라 화이트 아웃의 환경에서 고요히 찾아보니 이 또한 연산이 가능하다는 것을 발견한 것입니다.
제로존 이론은 특수한 용어들의 정의가 서로 다른 용어들의 차별로 이어져서 계산이 편리해 질수 있다는 기본 개념을 고려하면서 결국 모든 것은 서로 근본의 출발점에서는 결코 서로 다르지 않다는 것을 발견한 것입니다.
제로존 이론의 공준은 단순한 공준이 아니라 우주와 자연의 설계도면이 있는 모든 것의 이론에 대한 출발 신호가 된다는 것을 기술한 것이고 이를 특정시점을 통하여 선언하게 된 것입니다.
지금도 이 말이 무슨 말인가를 국내학자들이 알건 모르건 간에...